Função afim

Definição: toda função f: IR → IR definida por f (x ) = ax + b, com a ∈ IR e b ∈ IR, é denominada de função afim. 

Ex: f (x) = 2x + 1    
                               
       f (x) = - x + 10

Obs: O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.




                    

São casos particulares de função afim as funções identidades, lineares, constantes e translações.


Função Identidade

Definição: toda função f: IR → IR definida por f (x) = x para todo x ∈ IR. Entretanto, a = 1 e b = 0.

Obs: O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares, isto é, 1° e 3°.



                                       




Função Linear

Definição: toda função f:  IR → IR  definida por f (x) = ax para todo x ∈ IR. Entretanto, b = 0.

Ex: f (x) = - 2x                                          
       f (x) =  √3x 

Obs: O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.


                           


Função Constante

Definição: toda função  f:  IR → IR definida por f (x) = b para todo x ∈ IR. Entretanto, a = 0.

Ex: f (x) = 3    
                                       
       f (x) = - 2      
                                    
Obs: O gráfico da função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

            

              

Função Translação

Definição:  toda função  f: IR → IR definida por f (x) = x + b para todo x ∈ IR e b ≠ 0. Entretanto, a = 1.

Ex: f (x) = x + 2   

      f (x) = x- 3 




Exercícios Resolvidos

Página: 115.

4. Verifique quais funções são afins. Nelas, encontre a e b, para f (x) = ax + b.

a) f (x) = 3(x + 1) + 4(x - 1)                                         b) f (x) = (x + 2) ² + (x + 2) (x - 2)
  
   f (x) = 3x + 3 + 4x - 4                                                   f (x) = x² + 4x + 4 + x² - 2x + 2x - 4
   f (x) = 7x - 1                                                                     f (x) = x² + 4x + 4 + x² - 4      
   a = 7   e b = - 1      É função afim.                              f (x) = x² + 4x + x²
                                                                                                 f (x) = 2x² + 4x     Não é função afim.

c) f (x) = (x - 3)² - x(x -5)                                           d) f (x) = (x -3 ) - 5 (x - 1 )
  
 f (x) = (x -3) (x - 3) - x (x - 5)                                     f (x ) = x - 3 - 5x + 5
 f (x) = x² - 3x - 3x - 9x - x² + 5x                               f (x) = - 4x + 2
 f (x) = -x + 9                                                                   a = - 4 e b = 2            É função afim.
a = -1 e b = 9   É função afim.

5. Classifique as funções  f: IR → IR abaixo em afim, linear, identidade, constante e translação:

a) f (x) = 5x +2                                                           d) f (x) = x
Função afim.                                                               Função afim, identidade e linear.
 b) f (x) = - x + 3                                                        e) f (x) = 3x
Função afim.                                                               Função afim e linear.
c) f (x)= 7                                                                    f) f (x) = x + 5
Função afim e constante.                                                             Função afim e translação.

6. Escreva a função afim f (x) = ax + b, sabendo que:

a) f (1) = 5 e  f (- 3) = - 7              

a =  f ( - 3 ) - f ( 1 )                           f (x) = ax + b
             - 3 - 1                                     f (x) = 3x + b
a = - 7 - 5                                          f (1) = 3 (1) + b = 5
          - 4                                              3 + b = 5
a =  - 12                                              b = 5 - 3
         - 4                                                b = 2
a = 3 
                                                             f (x) = 3x + 2

b) f ( - 1 ) = 7 e f ( 2 ) = 1

a =  f ( 2 ) - f ( - 1 )                         f (x) = - 2 x + b
           - 1 - 2                                     f (-1)  = 7
a =   7 - 1                                         - 2 (-1) + b = 7
         - 3                                              2 + b = 7
a =  6                                               b = 7 - 2  
      - 3                                              b = 5
a = - 2                                                         f (x) = -2x + 5
7. Escreva a taxa de variação para cada uma das funções.

a) f (x) = 4x + 5                                                  c) f (x) = 3
                   ax + b                                                                   a = 0  Não é função afim.
b) f (x) = - 3x + 7                                               d) f (x) =  1  x + 2
                     ax + b                                                                    3
                                                                                                      ax + b

8. Verifique quais das funções abaixo são funções afins usando f (x + h) - f (x).

a) f (x) = - 6x + 1                                          

    f (x) = [ - 6 ( x + h ) + 1 ] - ( - 6 x + 1 )
    f (x) = 6x + 6h + 1 - 6x + 1
    f (x) = - 6h  É função afim.

b) g (x) = x² - 5x
    
    g (x+h) = (x + h)² - 5 (x + h) = x² + 2xh + h² - 5x - 5h
    g (x + h) - g (x) = x² + 2xh + h² - 5x - 5h - x²  + 5x
  . g (x + h) - g (x) = 2xh + h² - 5h
    [ g (x + h) - g (x) ] / (x + h - x) = [ g (x + h) - g (x) ] / h
    [ g (x + h) - g (x) ] /h = ( 2xh + h² - 5h ) / h
    [ g (x + h) -g (x) ] / h = 2x + h - 5    Não é função afim.

9. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:

a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;
f (x) = ax + b
C = 0,5x + 8
b) calcule o custo de 100 peças;
C(100) = 0,5.100 + 8
C(100) = 58.
c) escreva a taxa de crescimento da função.
a = 0,50

10. Em um retângulo, o comprimento é de 5 cm. Nessas condições:

a) calcule o perímetro do retângulo quando a largura for 1 cm; 1,5 cm; 2 cm; 3 cm e 4 cm;
Comprimento 5 e largura 1 , entretanto: 5 + 1 + 5 + 1 = 12 cm;
Comprimento 5 e largura 1,5, entretanto: 5 + 1,5 + 5 + 1,5 = 13 cm;
Comprimento 5 e largura 2, entretanto: 5 + 2 + 5+ 2 = 14 cm;
Comprimento 5 e largura 3, entretanto: 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm;
Comprimento 5 e largura 4, entretanto: 5 + 4 + 5 + 4 = 18 cm.
b) construa uma tabela associando cada largura ao perímetro do retângulo;

Largura (cm)	Perímetro (cm)
1	12
1,5	13
2	14
3	16
4	18

c) se x representa a largura, qual é a lei da função que expressa o perímetro nesse retângulo?

x + y + x + y = x + x + y + y = 2x + 2y

11. O preço do aluguel de um carro popular é dado pela tabela abaixo; 

100 km 300 km 500 km

Taxa fixa de R$ 50,00 Taxa fixa de R$ 63,00 Taxa fixa de R$ 75,00

Em todos os casos, paga-se R$ 0,37 por quilômetro excedente rodado.

a) Escreva a lei da função para cada caso, chamando de x o número de quilômetros excedentes rodados.

f (x) = ax + b

f (x) = 0,37 x + 50   x ≤ 100 km

f (x) = 0,37 x +63     100 < x ≤ 300
f (x) = 0,37 x + 75    300  < x ≤ 500

b) Qual é a taxa de variação de cada função?

a = 0, 37

12. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.

* Plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 por consulta num certo período.

* Plano B  cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta no mesmo período.

O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas.

Determine:

a) a equação da função correspondentes a cada plano;

INS       R$
100       50             f (x) = 50x + 100
180       40             f (x) = 40x + 180

b) em que condições é possível afirmar que;o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois plano são equivalentes.

x         y'        y''

1        100     180                       50x + 160 = 40x + 180
2        150     220                       50x - 100 = 40x - 180
3        200     260                       50x - 40 = 180 - 100
                                                     10 = 80
                                                       x = 8 consultas são equivalentes.

13. Após a correção das provas de uma classe, um professor resolveu mudar o sistema de pontuação, de modo que a nota máxima continuasse 100, mas a médias das notas que havia sido 60, passasse a ser 80 e que a variação das notas da antiga para a nova pontuação representasse uma função afim.

a) Determine a sentença que permite estabelecer a mudança.
(100, 100)
(60, 80)
P- 80 =  (100 - 80 )  (x - 60 )
               (100 - 60 )
P - 80 =  20  ( x - 60 )
                40 
P- 80 = 1  x - 30
              2
P =  1  p + 50
        2
b) Se antes a nota mínima de aprovação era 50, qual é a na nova pontuação?
P =   1  (50) + 50 = 75
        2 
 
Exercícios Resolvidos

Página 116.

14.  (FGV-SP) Os gastos de consumo (C) de uma família e sua renda (x) são tais que C = 2000 + 0,8x. Podemos então afirmar que:

a) se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta em 500.

2000 + 0,8 . 1500
2000 + 8 . 150
2000 + 1200 = 3200 o consumo aumentou em 400, desde a suposição com renda de 1000. Não 500 como diz a alternativa.

b) se a renda diminui em 500, o consumo diminui em 500.

2000 + 0,8 . 500
2000 + 8 . 50
2000 +  400 = 2400 o consumo diminuiu 400 desde a suposição com renda de 100. Não 500 como diz a suposição.

c) se a renda aumenta em 1 000, o consumo aumenta em 800.

2000 + 0,8 . 2000
2000 + 8 . 2000
2000 + 1600 = 3600 o consumo aumenta 800 como diz a alternativa. 

d) se a renda diminui em 1 000, o consumo diminui em 2 800.

2000 + 0,8 . 0
2000 + 0 = 2000 o consumo diminuiu 800 não 2800 como diz a alternativa.

e) se a renda dobra, o consumo dobra.

2000 + 0,8 . 2000
2000 + 8 . 200
2000 + 1600 = 3600 o consumo aumenta 800 não dobra.

Resposta certa letra C.

15. (Fuvest-SP) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: 

a) f (x) = x - 3.

b) f (x) = 0,97x.

c ) f (x) = 1,3x.

d) f (x) = - 3x.

e) f (x) = 1,03x.

100% - 3% = 97%
97% =  97  = 0,97
            100

Resposta certa letra B.












CETA
1v1